原标题：数学课需要改头换面 数学彰显真实世界的合理性

　　我想请你回忆过去，当你真的热爱过一些东西，例如一部电影，一张专辑，一首歌曲或一本书， 并且你全心全意的向你所钟爱的人推荐，你预期对方会有和你一样的反应，你等着等着，得到的答案却是，他恨死那东西了。

　　因此，以这种方式介绍，在这种完全相同的状态下，我度过了在过去六年工作中的每一天。我在高中教数学，生产一种市场不想要，但法律规定必须买的产品，我想着真的是赔钱货哦。

　　拿我学生对数学的刻板印象，用来预测你们的行为结果也管用。如果我给各位作一个数学(Ⅱ)的期末测验，我不敢期望有超过25%的合格率。这两个事实并不表示你们的问题或是我学生的问题，它表现的反应出美国今天所面临的数学教育的通病。

　　首先，我将数学分成两类。第一类是计算，这是你们已经忘记的东西。例如，二次方系数大于一的因式分解。这东西也很容易重新学习，只要你有一个关于推理，数学推理真正过硬的基础，我们将这称之为我们周围世界里的数学程序应用。

　　这点是很难教授的，也是我们希望学生能够掌握并应用，即使他们不进入数学领域。这也是在美国，由于我们教授它的方式以致于学生不会应用它。所以，我要谈谈这是为什么，为什么它会成为当今社会的灾难，我们可以为此做什么，而且，更进一步，为什么现在成为一名数学老师，这正是一个千载难逢的好时代。

　　第一，你在数学课堂上做的五个征兆是在数学推理上错误的。一个是缺乏主动性，你的学生没有自我行动。你完成你的演讲，然后马上，你就会看到五个人举手要求你到他们课桌前重新解释整件事。第二，学生缺乏坚持不懈。第三，他们缺少持续记忆力，你会发现自己在3个月后需要完完全全的重新解释这些概念。第四，还存在着一种对文字题的反感，这占了我学生中的99%。第五，这种情况下，剩下的1%正在急切地寻找公式来解决问题。这实在是毁灭性的。

　　David Milch是“米虫”影集以及其他的精彩电视节目的制作人，对此他有一个很好的描述。他发誓要停止创造当代戏剧，及当今的单元连续剧，因为他意识到，当人们的脑中一天四小时想到。例如，“两个半男人”，没有冒犯的意思，这就形成了神经传导通路，他说，以这样一种方式，人们期望简单的问题。他称这是“一种无法做决定的焦虑。”

　　人们对不能快速解决的事情不耐烦。人们期望各种问题像情景喜剧一般，可以在22分中结束，3个广告桥段和一个笑声背景中完成。而在真实情况中，我告诉你们所有人，如大家知道的，解决任何问题都不是那样简单。我对此很担忧，因为我要退休时的世界，会是由我的学生这一代人来运作。

　　如果我用现在的方式教育他们，那我就是在跟我自己的未来及福利过不去。我在这里告诉大家，现今的教科书，特别是大众常用的教科书，它们教授数学理论和耐心解决问题的方式，功能上和打开“好汉两个半”电视系列剧一样，然后这就结束了(消磨时间)。

　　这问题要严肃以待，这里是物理教科书上的一个例子，它同样适用于数学。首先注意到这里，它提供3个片段资讯，每一个都可以表示成某个公式，最终，学生可以以此计算。我相信，在真实生活中，有哪些你解决过的有价值的问题。是你在事先就知道所有的资讯是不需要你由过多的资讯中，过滤出有价值的部分，或是资讯不足，你必须再找其他资讯补足的。

　　我肯定大家都同意解决问题都不是如上所述那么简单。 我认为，教科书实在是误人子弟。看看这个就知道，这是一个练习题，当要实际做这问题时，我们只要将数字切换进去，做一些小处理，答案就出来了。

　　如果学生们不知道这类数学题模式，而它会帮助向你解释例题，让你回头找到解题所需的公式。所以你可以逐一将各数字带入公式，而不必懂物理。只是知道解码，就得到答案，这实在太不应该了。

　　对于数学，我可以更精准的诊断它的问题点。这是一个很酷的问题，我非常喜欢它。它是关于确定斜率及坡度是否在一个滑雪缆车上，但在这里有四个不同层面，我很好奇你们哪个可以看到这四个不同层面的，特别是当四张图被压缩在一起，一次性的展现给学生，又如何轻易地解决问题，我将在这里详细说明它们。

　　你有图像，也有数学结构，例如格子、尺寸、标示、点、轴，诸如此类。但解题前需要有次步骤，用于解决前述各项结构中哪些和斜率有关系，哪一个部分坡度最大。

　　我希望你们能看到。我们在这里是在谈一个激发兴趣的问题，一个有意思的答案，但我们应该在开拓一个平整的，简单明了的路径，从一点到另一点，然后祝贺我们的学生，为他们能够很好的沿路踏过小缝隙。

　　这就是我们现在的数学教育。所以我想展示给你们的是，如果我们能以不同方式分开这些，和学生们一起建造它们，我们可以处理所有需耐心解决的问题。

　　就在这里，我以图像开始，马上问个问题：哪个部分最陡?这会引起交谈，因为图像创造的方式使你可以用两个答案辩解，这样你可以促进人们互相争论，朋友对朋友的争论，情侣对情侣，或者读者和期刊等……

　　然后我们最终认识到，在讨论屏幕左下方的滑雪者，或是刚上中线的滑雪的人，这是挺讨厌的。另外，我们也会认识到，如果我们就只讨论ABCD四个标示点，事情会简化一些。

　　当我们给坡度下定义时，会了解如果能作一些量度，事情会比较好处理，可以把问题作归纳，了解问题的涵义，只有在这时候，我们才将数学的结构铺陈出来。

　　数学提供的是对话，而不是用对话来服侍是数学。在这一点，我将展示给你们看，如果10个班里有9个班先用这种方式，再进行斜率、坡度教学，效果会更好。如果你的学生们可以共同发展解题的次步骤。

　　你们可以比较这边这个和那边那个，哪一班可以产生耐心解决问题及数学推理的效果呢?以我过去的教学经验，答案很明显的。我这就要谈谈爱因斯坦，我认为他做了应有的贡献。他谈到规划问题的能力是如此重要，但在我的实践中，在美国，我们仅仅把问题交给学生，却没有让学生参与问题的形成及规划。

　　所以我每周五小时的课前准备工作中，有90%的时间是拿问题中非常吸引人的元素，像在我的教科书里的这些问题，把它们重组成能支持数学推理和耐心解决问题的方法。这里是它如何运作的。这是关于一个水桶，问题是：将水槽灌满需要多少时间?第一件事，我将教材中所有的次步骤删除。

　　学生必须自己去发展出来，用公式化表达它们，他们必须自己规划解题的次步骤，因此他们就注意到，所有写在那里的都是解题所需要的，没有一个是我们可以忽略分心的。学生们需要决定，好了，水槽高度重要吗?它的尺码重要吗?开关的颜色重要吗?哪些才是真正的重要因素?以现今的数学教材而言，这题目叙述不完整。我们有了一个水桶，多长时间会把它装满，题目就是这样。

　　因为这是21世纪，所以我们喜欢以真实世界的表达方式来谈论真实的世界，不是以你常在教科书上看到的线条艺术或是插图艺术来表达。

　　我们出去外面对实物照一张相，现在我们有了真实的东西，它要多长时间装满?更好的，我们用影片记录填加水的过程。它在慢慢的装满，令人不耐烦的等待。这很乏味，学生们在看他们的表，脸上都有某程度的疑惑，他们时不时地想，“伙计，这个要多长时间装满啊?”(笑声)各位就知道学生们是怎么被我骗上钩的。这就是你想要引起关注的地方。

　　由这个问题产生许多我认为很有趣的现象。就像我在开头时所说，因为我没有经验，我所教都是哪些最需要矫正的幼儿，他们有的不愿意加入讨论，是因为别人有解题的公式，别人比他更了解解题的公式，所以我不讨论这个。

　　但在这里，每个人都在同一个水平上运用直觉。每个人都装过水，所以我让孩子们自己回答这个问题：多长时间装满水。

　　我让这些在数学上和交谈上感到恐惧的孩子们也加入谈论。我把他们名字写到黑板上，指定他们来猜，所以学生就被带入情境，然后依据我前面描述的过程去做。这样做最妙的地方，或是比较优的地方就是，我们没有从教师版教科书的后面得到答案。我们只要将影片一直看完。(笑声)

　　这很有意思，对吧。因为在教师版教科书后面的解题提要，理论的公式总是管用的。这很好，但是当理论和实际情况不吻合，产生了错误时就会引起惊慌。但那些讨论是如此珍贵，也是最有价值的。

　　我在这里报告一些很有趣的教学心得，我的学生第一天到教室时，学生带有这些预置的错误征兆。这些孩子现在已经学了一个学期，他们变成了这样，我能在黑板上写下一些全新的，完全陌生的问题，他们能就此展开讨论，这比他们在学年开始的时候长了3、4分钟，作共同讨论。

　　这真有意思，孩子们不再反感数学问答题，因为他们从新定义了数学问答题。孩子们不再恐惧数学，因为我们会慢慢地重新定义该情境的数学涵义是什么。这个过程很有意思。

　　我鼓励数学教师多多应用多媒体，因为它把真实世界以高清晰度的图片和全色彩图像带到你的教室，用公平方式鼓励学生运用直觉，尽可能问最简短的问题。让那些更细、更具体的问题随着交谈显露出来，让学生们着手解决问题。正如爱因斯坦所说那样。

　　总而言之，就是给予更少的帮助，因为教科书在以非常错误的方式帮助大家。它在免去大家对耐心问题的解决和数学推理的责任，更没有帮助性。

　　为什么现在正是作为一个数学教师的绝好时候，因为现在有工具可以创造高品质且可携带于口袋的教材。它无所不在，也非常便宜。还有自由散播它的工具，在公开授权下，从没有比现在更便宜或更普遍的社交互联网工具。

　　不久之前，我把一系列的录像放在我的博客里，在两周之内它得到6000的观看率，我还收到很多我从来没有去过的国家的邮件，有的教师写邮件说：“哦，是的。我们确实用这个与学生有很好的对话。顺便说一下，我有改进你教材的妙方，效果真惊人。”

　　我最近在我的博客上提出了下面这个问题：“在一家杂物店，你要排哪一个结账柜台，一个是排在只有一辆购物车，但里面有19件商品的后面，另一个排在有4辆购物车，但上面各有3、5、2 和1件商品的后面。”

　　这里牵涉到的线性模型，它成为了我的教学中很好的材料，因为它，我几星期前上了“早安，美国”的节目，答案超乎一般想象，对吧。

　　从所有这些，我得到一个结论就是，不仅仅是学生，一般人也很渴望这些内容。数学彰显真实世界的合理性，数学也是描述人们直觉的词汇。所以我鼓励大家，无论你在教育上的角色是什么，不管你是学生，还是家长，老师，决策者，不论是什么，请坚持更好地应用数学教材，我们需要更多耐心的问题解决者。谢谢。